Gusti Ayu Diah Fatmawati

RELASI

Kelompok 10: - Gusti Ayu Diah Fatmawati

- Ridwan Putra

- Riries Putri H.

Sub Pokok

7.1. Pengantar Mengenai Relasi

7.2. Produk Cartesius suatu Relasi

7.3. Penyajian Matriks Relasi dan Diagram Panah

7.4. Relasi Invers

7.5. Komposisi Relasi

7.6. Sifat Relasi

7.7. Partisi

Menjelaskan Kembali Pengertian Relasi

7.1. Pengantar mengenai reasi

Apa itu Relasi ?

Relasi adalah hubungan antara dua elemen dua himpunan. Relasi juga dikatakan sebagai suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B. Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu.

Ø Menyatakan produk cartesius suatu relasi

7.2 Produk cartesius dan relasi

Digram cartesius digambarkan dengan dua sumbu, yaitu sumbu vertikal (sumbu y) dan sumbu horizontal (sumbu x) serta titik potong dari kedua sumbu (0,0) yang menjadi titik pusat dari diagram cartesius.

Anggota-anggota himpunan A sebagai himpunan pertama ditempatkan pada sumbu mendatar dan anggota-anggota himpunan B pada sumbu tegak.

Contoh:

1. Diketahui himpunan A = {6, 8, 10, 12, 14} dan B = {2, 3, 5, 7}. Jika relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi “kelipatan dari”, maka kita dapat menggambarkan relasi tersebut menggunakan diagram cartesius, sebagai berikut:

2. Himpunan A = {Eva, Roni, Tia, Dani} dan B = {Biru, Hitam, Merah}

Diketahui: Eva menyukai warna merah, Roni menyukai warna merah dan hitam, Tia menyukai warna merah, dan Dani menyukai warna biru. Jika relasi himpunan A ke B menunjukkan relasi "menyukai warna”, maka kita dapat menggambarkan relasi sebagai berikut:

Ø Menyajikan relasi dengan matriks relasi dan diagram panah

7.3 Penyajian matriks relasi dan diagram panah

· Representasi relasi dengan matriks Relasi

Sebuah relasi R dapat disajikan dengan matriks M.

Misalkan R adalah relasi dari A = {a, b, c, ….} dan B = {1, 2, 3, ….}

Maka dalam hal ini representasi relasi dengan matriks disebut relasi zero – one.

Contoh:

Misal R adalah relasi dari A = {a, b, c} dan B = {1, 2, 3}

R = {(a,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,3)}.

· Diagram Panah

Diagram panah digambarkan untuk menunjukkan hubungan antara dua himpunan. Dalam diagram ini, hubungan ditunjukkan dengan adanya panah antara anggota himpunan yang satu dengan yang lainnya.

Contoh:

Misalkan dalam suatu kelas dilakukan pendataan mengenai ekstrakurikuler.

ü Andre memilih ekstrakurikuler basket

ü Budi memilih ekstrakurikuler badminton

ü Caca memilih ekstrakurikuler renang

ü Didit memilih ekstrakurikuler musik

ü Ega memilih ekstrakurikuler basket dan sepak bola.

Dari pernyataan di atas, kita dapat menggambarkan relasi “memilih ekstrakurikuler” dengan menggunakan diagram panah, yaitu:

Nama Siswa Ekstrakurikuler

Ø Menjelaskan relasi invers dan Komposisi Relasi

7.4 Relasi Invers

Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R yang dinyatakan dengan R^-1 adalah relasi dari himpunan B ke A yang mengandung semua pasangan terurut yang bila dipertukarkan masih termasuk dalam R.

contoh:

A = {1, 2, 3}

B = {x, y}

R = {(1, x), (1, y), (3, x)} relasi dari A ke B

R^-1= {(x,1), (y,1), (x,3)} relasi invers dari B ke A

7.5 Komposisi Relasi

Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi R dan S, dinotasikan dengan S o R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh:

S o R = {(a, c) ½ a Î A, c Î C, dan untuk beberapa b Î B, (a, b) Î R dan (b, c) Î S}

ü Contoh:

Misalkan R = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)} adalah relasi dari himpunan {1, 2, 3} ke himpunan {2, 4, 6, 8} dan

S = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)} adalah relasi dari himpunan {2, 4, 6, 8} ke himpunan {s, t, u}.

Maka komposisi relasi R dan S adalah

S o R = {(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u)}

Membedakan sifat – sifat relasi (refleksif,transitif,simetirs dan anti simetri) Menjelaskan mengenai partisi

7.6 Sifat Sifat Relasi

Refleksif (reflexive)

Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat refleksif jika (a, a) ∈ R untuk setiap a ∈ A. Dengan kata lain, suatu relasi R pada himpunan A dikatakan tidak refleksif jika ada a ∈ A sedemikian sehingga (a, a) ∉ R.

ü Contoh:

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R adalah relasi ‘≤’ yang didefinisikan pada himpunan A, maka:

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}

Terlihat bahwa (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) merupakan unsur dari R. Dengan demikian R dinamakan bersifat refleksif.

ü Contoh:

Misalkan A = {2, 3, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R pada himpunan A dengan aturan:

(a, b) ∈ R jika a faktor prima dari b

Perhatikan bahwa (4, 4) ∉ R.

Jadi, jelas bahwa R tidak bersifat refleksif

Sifat refleksif memberi beberapa ciri khas dalam penyajian suatu relasi, yaitu:

Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang unsur diagonal utamanya semua bernilai 1, atau mii = 1, untuk i = 1, 2, …, n
Relasi yang bersifat refleksif jika disajikan dalam bentuk graf berarah maka pada graf tersebut senantiasa ditemukanloop setiap simpulnya

1. Transitif (transitive)

Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat transitif jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b,c ∈ A.

ü Contoh:

Misalkan A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, dan relasi R didefinisikan oleh:

a R b jika dan hanya jikan a membagi b, dimana a, b ∈ A,

Jawab:

Dengan memperhatikan definisi relasi R pada himpunan A, maka:

R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8)}

Ketika (2, 4) ∈ R dan (4, 8) ∈ R terlihat bahwa (2, 8) ∈ R.

Dengan demikian R bersifat transitif.

ü Contoh:

R merupakan relasi pada himpunan bilangan asli N yang didefinisikan oleh:

R: a + b = 5, a, b ∈ A,

Jawab:

Dengan memperhatikan definisi relasi R pada himpunan A, maka :

R = {(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)}

Perhatika bawa (1, 4) ∈ R dan (4, 1) ∈ R, tetapi (1, 1) ∉ R.

Dengan demikian R tidak bersifat transitif.

Sifat transitif memberikan beberapa ciri khas dalam penyajian suatu relasi, yaitu : sifat transitif pada graf berarah ditunjukkan oleh :

Jika ada busur dari a ke b dan busur dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c
Pada saat menyajikan suatu relasi transitif dalam bentuk matriks, relasi transitif tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya

2. Simetri (symmetric) dan Anti Simetri (antisymmetric)

Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat simetri jika (a, b) ∈ R, untuk setiap a, b ∈ A, maka (b, a) ∈ R. Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan tidak simetri jika (a, b) ∈ R sementara itu (b, a) ∉ R.

Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan anti simetri jika untuk setiap a, b ∈ A, (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R berlaku hanya jika a = b. Perhatikanlah bahwa istilah simetri dan anti simetri tidaklah berlawanan, karena suatu relasi dapat memiliki kedua sifat itu sekaligus. Namun, relasi tidak dapat memiliki kedua sifat tersebut sekaligus jika ia mengandung beberapa pasangan terurut berbentuk (a, b) yang mana a ≠ b.

ü Contoh:

Misalkan R merupakan relasi pada sebuah himpunan Riil, yang dinyatakan oleh: a R b jika dan hanya jika a – b ∈ Z.

Periksa apakah relasi R bersifat simetri!

Jawab:

Misalkan a R b maka (a – b) ∈ Z, Sementara itu jelas bahwa (b – a) ∈ Z.

Dengan demikian R bersifat simetri.

ü Contoh:

Tunjukan bahwa relasi ‘≤’ merupakan pada himpunan Z bersifat anti simetri

Jawab: Jelas bahwa jika a ≤ b dan b ≤ a berarti a = b. Jadi relasi ‘≤’ bersifat anti simetri.

ü Contoh:

Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat asli N merupakan contoh relasi yang tidak simetri karena jika a habis membagi b, b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b. Sementara itu, relasi “habis membagi” merupakan relasi yang anti simetri karena jika a habis membagi b dan b habis membagi a maka a = b.

ü Contoh:

Misalkan relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} maka relasi R merupakan relasi yang simetri sekaligus relasi yang anti simetri.

Sifat simetri dan anti simetri memberikan beberapa ciri khas dalam penyajian berbentuk matriks maupun graf, yaitu:

1. Relasi yang bersifat simetri mempunyai matriks yang unsur-unsur di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-unsurdi atas diagonal utama, atau mij = mji = 1, untuk i = 1, 2, …, n dan j = 1, 2, …, n adalah:

§ Relasi yang bersifat simetri, jika disajikan dalam bentuk graf berarah mempunyai ciri bahwa jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.

2. Relasi yang bersifat anti simetri mempunyai matriks yang unsur mempunyai sifat yaitu jika mij = 1 dengan i ≠ j, maka mji = 0. Dengan kata lain, matriks dari relasi anti simetri adalah jika salah satu dari mij = 0 atau mji = 0 bila i ≠ j :

§ sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat anti simetri mempunyai ciri bahwa tidak akan pernah ada dua busur dalam arah berlawanan antara dua simpul berbeda.

Misalkan, R merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R^–1, adalah relasi dari himpunan B ke himpunan A yang didefinisikan oleh:

R^–1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R}

ü Contoh :

Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q yaitu :

(p, q) ∈ R jika dan hanya jika p habis membagi q

maka kita peroleh:

R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15)

R^–1 merupakan invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P yang berbentuk :

(q, p) ∈ R^–1 jika q adalah kelipatan dari p

sehingga diperoleh:

R^–1 = {(2, 2), (4, 2), (4, 4), (8, 2), (8, 4), (9, 3), (15, 3)}

Jika M adalah matriks yang menyajikan suatu relasi R, maka matriks yang merepresentasikan relasi R^–1, misalkan N, diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks M.

7.7 Partisi

Sebuah partisi dari S adalah suatu koleksi P ={A_i} dari subset-subset S yang tidak kosong sedemikian hingga :

(i) Setiap elemen a dalam S anggota dari salah satu A_i

(ii) Himpunan-himpunan dari P adalah saling asing, yaitu jika A_i ≠ A_j maka A_i∩A_j=Ø

Subset-subset dalam sebuah partisi disebut sel. Gambar berikut adalah diagram venn dari suatu partisi dari himpunan titik-titik dalam 5 sel.